1 PCA目的/作用

主成分分析算法（PCA）是最常用的线性降维方法，它的目标是通过某种线性投影，将高维的数据映射到低维的空间中，并期望在所投影的维度上数据的信息量最大（方差最大），以此使用较少的数据维度，同时保留住较多的原数据点的特性。

PCA降维的目的，就是为了在尽量保证“信息量不丢失”的情况下，对原始特征进行降维，也就是尽可能将原始特征往具有最大投影信息量的维度上进行投影。将原特征投影到这些维度上，使降维后信息量损失最小。

2 求解步骤

去除平均值
计算协方差矩阵
计算协方差矩阵的特征值和特征向量
将特征值排序
保留前N个最大的特征值对应的特征向量
将原始特征转换到上面得到的N个特征向量构建的新空间中（最后两步，实现了特征压缩）

第一步：对所有特征进行中心化：去均值（这步很重要，之后会解释）

第二步：求协方差矩阵C

第三步：求协方差矩阵C的特征值和相对应的特征向量

第四步：将原始特征投影到选取的特征向量上，得到降维后的新K维特征

3 原理分析

3.1 为什么样本在“协方差矩阵C的最大K个特征值所对应的特征向量”上的投影就是k维理想特征？
其中一种解释是: 最大方差理论:方差越大，信息量就越大。协方差矩阵的每一个特征向量就是一个投影面，每一个特征向量所对应的特征值就是原始特征投影到这个投影面之后的方差。由于投影过去之后，我们要尽可能保证信息不丢失，所以要选择具有较大方差的投影面对原始特征进行投影，也就是选择具有较大特征值的特征向量。然后将原始特征投影在这些特征向量上，投影后的值就是新的特征值。每一个投影面生成一个新的特征，k个投影面就生成k个新特征。

PCA降维的目的，就是为了在尽量保证“信息量不丢失”的情况下，对原始特征进行降维，也就是尽可能将原始特征往具有最大信息量的维度上进行投影。将原特征投影到这些维度上，使降维后信息量损失最小。

3.2 那为什么协方差矩阵的特征向量可以看做是投影面，相对应的特征值是原始特征投影到这个投影面之后的方差？？

现在，假设有以下几个样本，特征只有2个维度。做完预处理（减去了均值，这步很重要，之后会解释）之后，分布如下：

4 PCA优缺点

优点：
1、以方差衡量信息的无监督学习，不受样本标签限制。
2、由于协方差矩阵对称，因此k个特征向量之间两两正交，也就是各主成分之间正交，正交就肯定线性不相关，可消除原始数据成分间的相互影响
3. 可减少指标选择的工作量
4.用少数指标代替多数指标，利用PCA降维是最常用的算法
5. 计算方法简单，易于在计算机上实现。
缺点：
1、主成分解释其含义往往具有一定的模糊性，不如原始样本完整
2、贡献率小的主成分往往可能含有对样本差异的重要信息，也就是可能对于区分样本的类别（标签）更有用
3、特征值矩阵的正交向量空间是否唯一有待讨论
4、无监督学习